2021年12月7日，北京大学北京国际数学研究中心张磊副教授、数学科学学院张平文院士与合作者在proceedings of the National Academy of the Sciences of the United States of America（《美国科学院院报》）在线发表题为“Transition pathways connecting crystals and quasicrystals”的研究论文。该工作通过数值计算，得到了晶体和准晶之间相变的临界核和转移路径，揭示了准晶的成核过程。

准晶具有长程有序性和多重旋转对称性，但是没有平移不变性，不具有周期结构。关于准周期结构，一个著名的数学例子是“彭罗斯镶嵌”，由2020年诺贝尔物理学奖得主Roger penrose教授在上世纪七十年代提出。彭罗斯用两种不同形状但具有同样边长的菱形可以填满整个平面，而不存在一个可重复的单元形，即一种准周期结构。1982年Dan Shechtman教授在实验中发现了具有五重对称性的准晶，并因此获得了2011年诺贝尔化学奖。

经过几十年的研究，人们得到了多种准晶，也理解了准晶的结构，但是准晶的成核问题，即从周期结构的晶体是否能涌现出准晶，仍然是凝聚态物理学中一个长久以来尚未解决的问题。相比于从无序结构（液体）到有序结构（晶体）的成核与相变，从晶体到准晶的成核过程要困难得多（图1）。这部分困难主要来自于准晶和晶体结构是非公度的，因此它们之间没有明显的外延关系。同时，成核过程是稀有事件，在实验中很难直接观测到，而且计算不稳定的准晶临界核要比计算稳定的准晶结构更加困难。

图1：准晶和晶体、液体之间相变的示意图

张磊与张平文课题组研究了准晶和晶体之间的成核与相变过程，将发展的鞍点动力学数值算法应用于Lifshitz-petrich模型，克服了问题退化带来的数值困难，从而可以精确计算出二维十二转准晶和六方晶体之间相变的临界核和转移路径。研究工作表明，二维十二转准晶和六方晶体之间相变可能遵循两条不同的转移路径：其一是一步相变，在晶体中直接出现准晶的临界核；其二是“晶体-层状准晶-准晶”的两步相变，具有周期结构的晶体首先沿一个方向周期破缺，成核后形成一个新的层状准晶的亚稳态，然后再经过一个成核过程转变成准晶（图2）。该工作提出的方法不仅揭示了准晶的成核过程，而且广泛适用于具有一阶相变的物理系统。

图2：二维六方晶体和十二转准晶之间相变的临界核和转移路径

北京大学数学科学学院“计算与应用数学博士研究生拔尖人才培养计划”2021届毕业生殷鉴远博士（现新加坡国立大学博士后）为该论文的第一作者，张磊、张平文院士，加拿大麦克马斯特大学史安昌教授为共同通讯作者，湘潭大学蒋凯教授参加了该工作。该工作得到国家自然科学基金委资助。